题解 BZOJ 3227 [Sdoi2008]红黑树(tree)

求红黑树红色节点的最大最小值。
参考 百度百科

性质1. 节点是红色或黑色。
性质2. 根节点是黑色。
性质3 每个叶节点(NIL节点,空节点)是黑色的。
性质4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
性质5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

这些约束强制了红黑树的关键性质: 从根到叶子的最长的可能路径不多于最短的可能路径的两倍长。结果是这个树大致上是平衡的。因为操作比如插入、删除和查找某个值的最坏情况时间都要求与树的高度成比例,这个在高度上的理论上限允许红黑树在最坏情况下都是高效的,而不同于普通的二叉查找树。
要知道为什么这些特性确保了这个结果,注意到性质4导致了路径不能有两个毗连的红色节点就足够了。最短的可能路径都是黑色节点,最长的可能路径有交替的红色和黑色节点。因为根据性质5所有最长的路径都有相同数目的黑色节点,这就表明了没有路径能多于任何其他路径的两倍长。

然后就知道树高是log级别的了,就可以按照题目树形dp了。复杂度$O(n^2lgn)$
(考试的时候也许可以无脑$n^3$打表?)
code:

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#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
int n;
int f[21][5005][2];// high num black|red max
int g[21][5005][2];//min
int mn,mx;
int main(){
scanf("%d",&n);
memset(f,235,sizeof f);
memset(g,0x3f,sizeof g);
mx=0x80808080;
mn=0x3f3f3f3f;
f[0][0][0]=0;f[0][1][1]=1;
g[0][0][0]=0;g[0][1][1]=1;
for(int i=1;i<=20;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=0;k*2+1<=j;k++){
f[i][j][0]=max(f[i-1][k][0]+f[i-1][j-k-1][0],f[i][j][0]);
f[i][j][0]=max(f[i-1][k][1]+f[i-1][j-k-1][0],f[i][j][0]);
f[i][j][0]=max(f[i-1][k][0]+f[i-1][j-k-1][1],f[i][j][0]);
f[i][j][0]=max(f[i-1][k][1]+f[i-1][j-k-1][1],f[i][j][0]);

g[i][j][0]=min(g[i-1][k][0]+g[i-1][j-k-1][0],g[i][j][0]);
g[i][j][0]=min(g[i-1][k][1]+g[i-1][j-k-1][0],g[i][j][0]);
g[i][j][0]=min(g[i-1][k][0]+g[i-1][j-k-1][1],g[i][j][0]);
g[i][j][0]=min(g[i-1][k][1]+g[i-1][j-k-1][1],g[i][j][0]);
}
}
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=0;k*2+1<=j;k++){
f[i][j][1]=max(f[i][k][0]+f[i][j-k-1][0]+1,f[i][j][1]);
g[i][j][1]=min(g[i][k][0]+g[i][j-k-1][0]+1,g[i][j][1]);
}
}
}
for(int i=0;i<=20;i++){
mx=max(mx,max(f[i][n][0],f[i][n][1]));
mn=min(mn,min(g[i][n][0],g[i][n][1]));
}
printf("%d\n%d\n",mn,mx);
return 0;
}

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