题解 BZOJ 1257 [CQOI2007] 余数之和

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题意:

  给定n,k,求 ∑(k mod i) {1<=i<=n} 其中 n,k<=10^9
  即 k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。


我们先来看商之和。
  给定n,k,求∑(k/i) {1<=i<=n} 其中/为整除。


可以得到一个引理,k/i值的个数不超过2*√k
证明:k整除小于√k的数,都会有一个不同的结果;k整除大于√k的数,结果肯定小于√k,所以最多也只能有√k种结果。

于是我们可以枚举结果的取值累加。是O(√k)级别的。

代码可以这样写:

LL sum(LL n,LL k){ //calc sigma(k/i) 1<=i<=n
    LL sum = 0;
    for(LL i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
        LL a = k / i ; LL b = k / a ;
        b = min(b,n) ;
        sum += a * (b-i+1) ;
    }
    return sum;
}

其中ak/i的值,b是最大得到k/i这个值的数,b-i+1为取得同一个值的区间长度。

然后来看余数之和:
我们知道 a mod b == a - a/b*b (整除)。
  于是 ∑(k mod i) {1<=i<=n}就可以写成n*k-∑k/i*i {1<=i<=n}对于k/i值相同的一段,后面那一项是一个等差数列,求和就好了。
代码: https://gist.github.com/zrt/49ab71471a4e1265ccc9

另有一道题:切巧克力。在SegmentFault上有人提问,链接。我的回答就是用了与这个类似的方法。

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