题解 BZOJ 2242 [SDOI2011] 计算器

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noip级数论模版题了吧。
让求三个东西:

  1. 给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值。
  2. 给定y,z,p,计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数。
  3. 给定y,z,p,计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。

其中P均为素数。
来分着处理。

1 y^z%p 快速幂。
推荐一种又快又好写的写法:

LL power_mod(LL a,LL b,LL p){ //get a^b%p
    LL ret=1;
    while(b){
        if(b&1) ret = ret * a % p;
        a = a * a % p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}

为什么是对的呢,拆成二进制看一看就好了。

2 Yx==Z%p 扩展欧几里德。

Yx==Z%p可以变形成为Yx+py==Z
显然仅当gcd(Y,p)|Z时有解。
我们知道ex_gcd可以求 ax0+by0==gcd(a,b)的一组解。
所以我们让原方程两边都除以gcd(Y,p),然后得到Yx0+py0==gcd(Y,p)的一组解。
于是Z/gcd(Y,p)*x0%p为原题的答案。注意要让结果为正。

3 Y^x %p ≡ Z Baby step-giant step

其实也是一种分块的思想。
m=√p
可以表示为 Y^(km) * Y^r == Z (mod P)
注意到0<=r<m 只有√p种取值,所以我们可以预处理出来,算出它的逆元再乘Z,扔进一个set。
然后枚举k,set中查询Y^(km),如果有这个值,就说明找到了解。
逆元的话。因为p是素数,所以直接power_mod(Y,p-2,p);就好了。

代码太丑,惨不忍睹,不敢发。


做一些题,得记下来点东西啊。
ps.上午看往年的课件好好理解了理解扩展欧几里德。

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